从傅里叶级数到傅里叶变换：详细的数学推导

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傅里叶变换 (Fourier transform) 是信号处理中 一个重要的概念。傅里叶变换将时间 (例如音频) / 空间域 (例如图像) 转换到频率，方便很多后续的信号处理。 本文从周期函数的傅里叶级数开始，详细推导傅里叶级数的复数表示， 以及非周期函数的傅里叶变换。 希望能帮助大家理解和傅里叶变换的原理。

正交函数系

对于两个实值函数 ，定义函数的 内积 为： 如果 ，则称 正交。 函数正交是向量正交的一个扩展，函数正交中的“乘积后求积分”对应向量内积的“乘积后求和”。

假设有函数的集合 ，其中对于任意 有： ，则称该函数集合为“正交函数系”（orthogonal functions）。

三角函数集合

是正交函数系列。 以 为例证明：

  1. 对任意的，：

  1. 对任意的，：

    :

周期函数的傅里叶级数展开

周期函数是指满足 的函数，其中常数 称为周期。 任意一个周期为 的函数 都可以展开为不同频率的余弦函数的线性组合：

式 称为周期函数的 傅里叶级数。 其中 称为 直流分量， 为 基频率， 则是不同频率的余弦函数。 为 不同频率余弦分量的 幅度， 为 相位。 公式 也可以写为正弦形式：

同时也可以写成正弦余弦组合的形式：

令

式 可以简写成：

式 中的系数 可以通过积分求得。

不论是 公式 中的余弦展开，公式 中的正弦展开， 或者 公式 中的余弦正弦展开，每一个频率分量都需要两个参数来表达： 公式 和 中是振幅 和 相位 ， 公式 中是 和 。 这本质的原因是一个余弦/正弦信号需要频率和相位两个参数来表达。

下面我们来推导 公式 中的 。

  1. 对于 ，对 式 两边在 区间求积分：

    得到

  2. 对于 ，对 式 两边乘以 然后再在 区间求积分：

    式 中的化简利用了式的结论。 最后我们得到：

  3. 类似地，对 式 两边乘以 然后再在 区间求积分， 可以得到 ：

整理一下上面的结论，得到：

求出 后，根据 式 中的替换，可以得到 式 中的 ：

可不可以是

其中， 称为幅度，表示不同频率余弦分量的“权重”； 称为 相位， 表示不同频率余弦分量的初始相位。 通过 就可以恢复出原函数 。

傅里叶级数的复数形式

理论上讲，式 以及 式 所描述的 傅里叶级数展开 已经比较完备， 但是形式上不是很统一，每个频率分量需要两个参数 来表示。 那么有没有一种统一的形式，使得傅里叶级数展开等号右边只有一种类型的基函数（basis）， 而且基函数的参数可以统一的表示出来呢？

要回答这个问题，要从欧拉公式开始。

欧拉公式

首先我们介绍欧拉公式：

由 式 可以推出：

通过欧拉公式将傅里叶级数转换到复数域

我们将 式 带入到 式，得到：

第三项中用代替

改用新的系数符号 :

其中

至此我们导出了 傅里叶级数的复指数形式。 这种形式下基函数为复指数信号 ，系数 也是一个 复数。 这种形式的傅里叶级数基函数形式只有一种，并且每个频率分量只有权重参数 （因为 是复数， 因此实际上 同时包含了幅度和相位信息，只是形式上统一了）。 傅立叶级数中引入复数只是为了表达的方便， 可以将相位和频率同时用一个复数表达出来，本质上和直接用正弦或者余弦函数没有区别。 虽然说可以用一个虚数来表达一个频率分量，但实际上虚数有实部和虚部，因此实际上上还是两个参数表示一个频率分量。 多说一句，傅立叶级数的虚数表示可以看作是一种文字游戏： 用一种本来不存在的东西（复指数信号） 来表示某个实际存在的事物（余弦和正弦信号），从而简化原来的表达。 而人类使用数学，也正是在做同样的事情：数学概念并不存在，只是人类想象的， 但是我们可以用数学来更简洁地归纳表达世界上存在的事物和现象。

复数 的模为 。 当 时，复数 的幅角为 ； 当 时，复数 的幅角为 。 使用负指数形式傅里叶展开时，基函数为 ，频谱占满了整个数轴（正数负数都有），而且正负频率的系数都等于正弦形式展开中正弦信号峰值的一半： 。

接下来我们求解 式 中不同情况下 的表达式：

  1. 当 时：
  1. 当 时：

  1. 当 时：

式 表明，不论 取何值， 都可以表示为：

对上面的推导做个总结，那就是：任意一个周期为 的实值函数 都可以展开为以下傅里叶级数： 其中 称为“基频率”，不同频率分量的权重 是一个同时包含了 幅度 和 相位 信息的 复数。

将 的表达式带入 式，得到周期函数 的 复指数形式傅里叶级数展开 的完整表达式：

。

傅里叶级数到傅里叶变换

式 中的傅里叶级数展开是针对 周期函数 的，但是在现实中大多数信号都是非周期的。 对于非周期函数 是否也存在类似的分解呢？

非周期函数可以看做是周期 的周期函数， 当 时，基频率 就变成了微分 ， 同时求和 就变成了求积分 。

我们先将 带入 式，然后将求和转化为积分。

用替换

当 时，周期函数 变为非周期函数 ， 变成无穷小，上式等号右边过渡为一个积分：

式 中

称为“傅里叶变换”；

称为“傅里叶逆变换”。

引用

如果本文的内容对你撰写学术论文有帮助，希望能考虑引用：

@misc{zhao2020fourier,
    title   = {从傅里叶级数到傅里叶变换：详细的数学推导},
    author  = {Kai Zhao},
    year    = 2020,
    note    = {\url{http://kaizhao.net/blog/fourier}}
}